一、定义

一个满足以下条件的函数$\|\cdot\|$：

1. 非负性与正定性：$\|x\| \geq 0, \|x\| = 0$当且仅当$x = 0$。
2. 齐次性：$\|tx\| = |t| \|x\|, t \in R$
3. 三角不等式：$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$

范数的值域是$\mathbb{R}$

一些常见的范数：

1. 绝对值和范数：记$l_1-$范数：

   $$\|x\|_1 = |x_1| + |x_2| + \cdots +|x_n|, x \in R^n$$

2. 距离范数：$l_2-$范数：

   $$\|x\|_2 = (|x_1|^2 + |x_2|^2 + \cdots + |x_n|^2)^\frac{1}{2}, x \in R^n$$

3. $l_n-$范数$(p \geq 1)$：

   $$\|x\|_n = (|x_1|^p + |x_2|^p + \cdots + |x_n|^p)^\frac{1}{p}, x \in R^n$$

4. $l_\infty-$范数：

   $$\|x\|_\infty = \lim_{p\rightarrow \infty}\|x\|_p = \text{max}\{|x_1|, \dots, |x_n|\}, x \in R^n$$

5. $P-$二次范数$(P \in S^n_{++})$：

   $$\|x\|_p = (x^TPx)^\frac{1}{2} = \|p^\frac{1}{2}x\|_2, x \in R^n$$

二 、$\mathbb{R}^n$范数的等价性

定理：

1. 假设$\|\cdot\|_a$和 $\|\cdot\|_b$是定义在$\mathbb{R}^n$上的范数，存在正数$\alpha$和$\beta$，对于所有$x \in R^n$:

   $$\alpha \|x\|_a \leq \|x\|_b \leq \beta \|x\|_a$$

对定理1的证明：

要证$\alpha \|x\|_a \leq \|x\|_b \leq \beta \|x\|_a$，即证$\alpha \leq \frac{\|x\|_b}{\|x\|_a} \leq \beta$。

由齐次性有：$\alpha \leq \|\frac{x}{\|x\|_a}\|_b \leq \beta$。

设$u = \frac{x}{\|x\|_a}$，即证$\alpha \leq \|u\|_b \leq \beta$，其范数满足$\|u\|_a = 1$。

令$\alpha = \text{min}_{\|u\|_a = 1}\|u\|_b, \quad \beta = \text{max}_{\|u\|_a = 1}\|u\|_b$ （因为$\|u\|_a$是一个紧集，因此是连续的，存在最大和最小值）

因为$\text{min}_{\|u\|_a = 1} \leq u \leq \text{max}_{\|u\|_a = 1}$

故$\alpha \leq \|u\| \leq \beta$

2. 如果$\|\cdot\|$是$\mathbb{R}^n$上的任意范数，那么存在一个二次范数$\|x\|_p$，使得$\|x\|$：

   $$\|x\|_p \leq \|x\| \leq \sqrt{n}\|x\|_p$$

对定理2的证明：

John 椭球定理（简述）：对任一以原点对称的凸体$B \subseteq \mathbb{R}^n$，存在一个最大体积的内接椭球E（称为 John 椭球），并且有包含关系：

$$E \subset B \subset \sqrt{n}$$

三、例题

1. 假设$\|\cdot\|$是一个定义在$\mathbb{R}^m$上的范数，定义$\|x\|_A = \|Ax\|, A \in R^{m \times n}$。证明如果$\text{rank}(A)=n$，则$\|\cdot\|_A$也是一个范数。

   非负性：由于$\|\cdot\|$是一个定义在$\mathbb{R}$上的范数，因此$\forall x \in R^m$，有$\|Ax\| \geq 0$。

   又因为$\|x\|_A = \|Ax\|$，因此$\forall x \in \mathbb{R}^m$，有$\|x\|_A \geq 0$。

   正定性：由于$\|\cdot\|$是一个定义在$\mathbb{R}$上的范数，因此若$\|Ax\| = 0$时，$Ax = 0$。

   因为$\text{rank}(A) = n$，因此$Ax = 0$当且仅当$x = 0$。故当且仅当$x=0$ ，有$\|x\|_A = 0$

   齐次性：$t\|x\|_A = t\|Ax\| = \|tAx\| = \|tx\|_A$

   三角不等式：$\|x+y\|_A = \|A(x+y)\| = \|Ax + Ay\| \leq \|Ax\| + \|Ay\| \leq \|x\|_A + \|y \|_A$

2. 定义函数$f:\mathbb{C}^n \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \sum^n_{i=1}(|\text{Re}\ x_i| + |\text{Im}\ x_i|)$，$f$是范数吗？试证明。

    

    

3. 设$u,v \in V$证明$\langle u, v \rangle = 0$当且仅当对所有$a \in F$均有$\|u\| \leq \|u + av\|$.（默认二阶范数）

   • 证： $\langle u, v \rangle = 0 \Rightarrow \forall a \in F$均有 $\|u\| \leq \|u + av\|$

     $\|u + av\|^2 =(u+av)^T(u+av)= \|u\|^2 + 2av^Tu+ a^2\|v\|^2$ ,

     由于$\langle u, v\rangle = u^Tv = 0$。

     因此$\|u+av\|^2 = \|u\|^2 + a^2\|v\|^2 \geq \|u\|^2 \Rightarrow \|u+av\| \geq \|u\|$。

   • 证：$\forall a \in F$均有$\|u\| \leq \|u +av\| \Rightarrow \langle u, v \rangle = 0$

     $\|u+av\|^2 = (u+av)^T(u+av)=\|u\|^2 + 2au^Tv +a^2\|v\|^2$.

     $2au^Tv + a^2\|v\|^2 = a(2u^tv + a\|v\|^2)$，取$-\frac{2u^Tv}{\|v\|^2} \leq a \leq 0$，有$2au^Tv + a^2\|v\|^2 \leq 0$，不满足条件。

     因此对于$\forall a \in F$，有$2au^ttv + a^2\|v\|^2 \geq 0$，只有$\langle u, v \rangle = 0$.

4. 设$u, v \in R^n$，对于$2-$范数$\|\cdot\|$，如果

   $$\|u+v\| = \|u\| + \|v\|$$

   证明对某个实数$\lambda, u = 0$或$v = \lambda u$

   两边同时平方有：$\|u+v\|^2 = (u+v)^T(u+v) = \|u\|^2 + 2u^Tv +\|v\|^2 = \|u\|^2 + 2 \|u\|\|v\| + \|v\|^2$.

   因此即$u^Tv = \|u\|\|v\|$.因为$u^Tv=\|u\|v\|\cos{\theta}$，其中$\theta$是$u, v$的夹角。

   故要使条件成立，$\cos \langle u, v \rangle = 1$，即$u$与$v$同向。

   故$u = 0$或$v = \lambda u$