本文最后更新于120 天前，其中的信息可能已经过时，如有错误请发送邮件至 2641805259@qq.com
一、正常锥与广义不等式
1. 正常锥
对于一个锥，如果它满足以下条件：
- 是凸的
- 是闭集
- 是实的，即具有非空内部 ()
- 是尖的，即不包括直线（）
那么这个锥是一个正常锥。可以用来定义广义不等式，即上的偏序关系。
2. 广义不等式
用正常锥可以定义上的偏序关系如下：
类似的，我们定义相应的严格偏序关系如下：
当时，偏序关系就是通常意义上中的序。
广义不等式包含了上的（不严格和严格）不等式，上的不等式是广义不等式的一种特殊情况。
广义不等式之所以是广义是因为把不等式的概念推广到任意向量空间或矩阵空间，通过凸锥来定义一种可用的偏序关系。
例子：
非负象限及分量不等式：
半正定锥和矩阵不等式：
[0, 1]上非负的多项式锥：
证明：
3. 广义不等式的性质
- 对于加法是保序的：
- 具有传递性：
- 对于非负数乘是保序的。
- 是自反的。
- 是反对称的。
- 对于极限运算是保序的：如果对于，均有，当时，有和 。那么。
二、最小与极小元
尽管广义不等式看上去跟上的普通不等式看上去有着相同的性质，但是仍有例外存在。
上的是一个线性序，即任意两点都是可比的，但广义不等式并非如此。
1. 最小元
如果对于每个，均有，那么称是关于广义不等式的最小元。当且仅当：
这里的表示可以与 相比并且大于或等于的所有元素的集合。
2. 极小元
如果，可以推出，那么我们称是上关于广义不等式的极小元。当且仅当：
这里的表示可以与x相比并且小于或等于的所有元素的集合。
根据的定义有，因此，其中为所有满足条件的的集合。
对偶范数：
\|y\|_* = \sup \{y^Tu | \|u\| \leq 1\} ,则 K^* = \{(y, z) | \|y\|_* \leq z\} .