2.2 保凸运算 – 李云浩的博客

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一、交集

多个凸集的交集还是凸集。

如果一个函数是一个线性函数和一个常数的和，即具有 $f(x)=Ax+b$ 的形式，那么函数 $f:R^n\rightarrow R^m$ 是仿射的。假设 $S\subseteq R^n$ 是凸的，并且 $f:R^n\rightarrow R^m$ 是仿射函数。那么 $S$ 在 $f$ 下的像

f(S)=\{f(x) | x \in S\}

是凸的。类似的，如果 $f:R^k\rightarrow R^n$ 是仿射函数，那么 $S$ 在 $f$ 下的原像

f^{-1}(S) = \{x |f(x) \in S\}

是凸的。

此外，如果 $S_1$ 和 $S_2$ 是凸集，那么 $S_1 + S_2$ ， $S_1 \times S_2$ （直积或Cartesian乘积），以及 $S_1$ 和 $S_2$ 的部分和都是凸集。

S_1 + S_2 =\{x + y | x \in S_1, y \in S_2\}

S_1 \times S_2 = \{(x_1, x_2) |x_1 \in S_1, x_2 \in S_2\}

S = \{(x, y_1 + y_2)|(x, y_1) \in S_1, (x, y_2) \in S_2\}

我们定义 $P:R^{n+1}\rightarrow R^n$ ， $P(z,t) = z/t$ 为透视函数，其定义域为 $\mathbf{dom} P=R^n \times R_{++}$ （此处的 $R_{++}$ ）表示正实数集。

透视函数对向量进行伸缩或称为标准化，使得最后一维分量为1并舍弃之。（等效于小孔成像，三维物体映射为二维）

如果 $C \subseteq \mathbf{dom}P$ 是凸集，那么它的像

P(C) = \{P(x) |x \in C\}

也是凸集。

反之一个凸集在透视函数下的原像也是凸的。

线性分式函数由透视函数和仿射函数复合而成。设 $g:R^n\rightarrow R^{m + 1}$ 是仿射的，即

g(x) = \begin{bmatrix} A \\ c^T \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix}b \\ d\end{bmatrix}

其中 $A \in R^{m \times n}, b \in R^m, c \in R^n$ 并且 $d\in R$ 。那么由 $f = P\circ g$ 给出的函数 $f:R^n \rightarrow R^m$

f(x) = (Ax+b)/(c^Tx + d),\quad \mathbf{dom} f = \{x | c^Tx+d > 0\}

称为线性分式（或投射）函数