1. 单项式与正项式

函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，$\textbf{dom} f = \mathbb{R}_{++}^n$定义为

其中$c > 0$，$a_i \in \mathbb{R}$。它被称为单项式函数或单项式。

单项式的和，即具有下列形式的函数称为正项式函数（具有$K$项），或简称为正项式：

其中$c_k > 0$。

性质：

1. 正项式对于加法、正数数乘以及非负变量伸缩变换是封闭的。
2. 单项式对于正数数乘和变量的正数倍缩放（除法即乘以正数倒数）是封闭的。

2. 几何规划

具有下列形式的优化问题：

被称为几何优化(GP)，其中$f_0, \cdots, f_m$是正项式，$h_1, \cdots, h_p$是单项式。这个问题的定义域是$\mathcal{D} = \mathbb{R}_{++}^n$，约束$x \succ 0$是隐式的。

几何规划问题的拓展

如果$f$是一个正项式，$h$是一个单项式，那么$f(x) \leq h(x)$表示为$f(x) / h(x) \leq 1$；而等式约束$h_1(x) = h_2(x)$可以表示为$h_1(x) / h_2(x) = 1$

考虑下面问题：

$$\begin{aligned} \text{minimize} & \quad x / y\\ \text{subject to} & \quad 2 \leq x \leq 3\\ & \quad x^2 + 3y / z \leq \sqrt{y}\\ & \quad x / y = z^2 \end{aligned}$$

可以转化为标准形式：

$$\begin{aligned} \text{minimize} & \quad x / y\\ \text{subject to} & \quad x^2 / \sqrt{y} + 3 \sqrt{y} / z \leq 1\\ & \quad x / yz^2 = 1\\ & \quad x / 3 \leq 1\\ & \quad 2 / x \leq 1 \end{aligned}$$

3. 凸优化的几何规划

几何规划一般不是凸优化问题，但是通过变量代换以及目标、约束函数的转换，它们可以被转换为凸问题。

具体步骤

定义$y_i = \log x_i$，因此$x_i = e^{y_i}$。如果$f(x) = cx_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2} \cdots x_n^{\alpha_n}$，那么有

其中$b = \log c$，类似地

正项式$f(x) = \sum_{k = 1}^K c_kx_1^{\alpha_{1k}}x_2^{\alpha_{2k}}\cdots x_n^{\alpha_{nk}}$可以转化为相应形式：

通过转换后，几何规划可以用新的变量$y$来表示：

再采用对数函数对目标函数和约束函数进行转换，从而得到问题

因为函数$\tilde{f_i}$是凸的，$\tilde{h_i}$是仿射的，所以该问题是一个凸优化问题。我们称其为凸形式的几何规划。

如果正项式目标函数和所有约束函数都只含有一项，即都是单项式，那么凸形式的几何规划将退化为线性规划。