一、共轭函数

1. 定义

设函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，定义函数$f^*:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$为

此函数称为函数$f$的共轭函数。

$\textbf{dom} f^*$即差值$y^Tx - f(x)$在$\textbf{dom}f$有上界的所有$y \in \mathbb{R}^n$.

显然$f^*$是凸函数，因为是一系列$y$的凸函数（实质上是仿射函数）的逐点上确界。（无论$f$是不是凸函数）

2. 基本性质

二、对数凹函数和对数凸函数

1. 定义

称函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$对数凹，如果所有的$x \in \textbf{dom} f$有$f(x) > 0$且$\log f$是凹函数。

称函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$对数凸，当且仅当$\frac{1}{f}$是对数凹的。

2. 性质

考察函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，其定义域是凸集，且对于任意$x \in \textbf{dom} f$有$f(x) > 0$，函数是对数凹的，当且仅当对任意$x, y \in \textbf{dom} f$,$0 \leq \theta \leq 1$，有

或者

三、拟凸函数（单峰函数）

1. 定义

设函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，如果其定义域是凸集，以及所有下水平集

$a \in \mathbb{R}$，都是凸集，则次函数称为拟凸函数。

凸函数是拟凸函数，但是拟凸函数不一定是凸函数

如果$-f$是拟凸的，则$f$是拟凹的。

如果$f$是拟凸且拟凹的，则它是拟线性的

2. 性质

函数$f$数拟凸函数的充要条件是，$\textbf{dom} f$是凸集，且对于任意$x, y \in \textbf{dom} f$以及$0 \leq \theta \leq 1$，有

即线段中任意一点的函数值不得超过其端点函数值最大的那个。

3. 可微拟凸函数

一阶条件

设函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$可微，则函数$f$是拟凸的充分条件是，$\textbf{dom} f$是凸集，且对于任意$x, y \in \textbf{dom} f$有

二阶条件

假设函数$f$二阶可微。如果函数$f$是拟凸函数，则对于任意$x \in \textbf{dom} f$以及任意$y \in \mathbb{R}^n$有

对于定义在$\mathbb{R}$上的拟凸函数，上述条件可以简化为：

四、拟凹函数

1. 定义

设函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$，如果其定义域是凸集，以及所有上水平集

$a \in \mathbb{R}$，都是凸集，则次函数称为拟凹函数。

2. 性质

函数$f$数拟凹函数的充要条件是，$\textbf{dom} f$是凸集，且对于任意$x, y \in \textbf{dom} f$以及$0 \leq \theta \leq 1$，有

即线段中任意一点的函数值不得小于其端点函数值最小的那个。

3. 可微拟凹函数

一阶条件

设函数$f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$可微，则函数$f$是拟凹的充分条件是，$\textbf{dom} f$是凸集，且对于任意$x, y \in \textbf{dom} f$有

二阶条件

假设函数$f$二阶可微。如果函数$f$是拟凹函数，则对于任意$x \in \textbf{dom} f$以及任意$y \in \mathbb{R}^n$有

对于定义在$\mathbb{R}$上的拟凹函数，上述条件可以简化为：