一、线性空间

二、开集与闭集

1. 相关概念

• 开球

  集合$B(x, r) := \{y \in \mathbb{R}^n : \|y-x\| < r \}$被称为以$x$为中心、半径$r > 0$的开球。

• 内点

  对于集合$A$，$x \in A$是$A$的内点当且仅当存在某个半径$r$，使得以$x$为中心，$r$为半径的开球全部落在$A$内

• 内部

  记作$\mathbb{int} A$，指$A$中所有内点的集合。即：$\mathbb{int} A = \{x \in A | \exists r > 0 \ s.t. B(x,r) \subseteq A\}$

• 边界点

  对于集合$A$，$x$是$A$的边界点当且仅当对任意半径$r$，使得以$x$为中心，$r$为半径的开球既包含$A$中的点，也包含$A$外的点

• 极限点

  对于集合$A$，$x$是$A$的极限点当且仅当以$x$为中心，任意$r$为半径的开球包含$A$中异于$x$的点

• 闭包

  点集$A$的闭包，记作$\mathbb{cl}(A)$，指$A$中所有点加上所有$A$的极限点，即：$\mathbb{cl} A = \{x \in X | \forall r > 0, B(x, r)\cap A \neq \varnothing \}$

2. 开集与闭集

$S \subset R$被称为开集，则要么$S = \varnothing$，要么对于任意$x \in S$，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subset S$；

$S \subset R$被称为闭集，则其补集$U^C = \{x \in \mathbb{R}^n: x \notin U \}$是开集

定理：一个非空集合是闭集，当且仅当它包含所有极限点（对于极限运算封闭）

3. 易混淆的问题

• 整个实数集是闭集，也是开集。$\Rightarrow$ $\varnothing$既是开集也是闭集
• 任意多个闭集的交集还是闭集
• 任意多个闭集的并集不一定是闭集
• 任意多个开集的并集还是开集
• 任意多个开集的交集不一定是开集
• 存在一个集合既不是开集也不是闭集