一、二维离散随机变量

二维离散型随机变量和（和函数$g = X + Y$）的分布

1. 卷积公式-和函数

定理18：若$X$与$Y$为离散随机变量$X$与$Y$，其取值$(i, j \in \mathbb{N}^+)$，则随机变量$Z=X+Y$的分布列为

2. 卷积公式-和函数、独立性

定理19：若离散随机变量$X$与$Y$独立，则其分布列为

则随机变量$Z = X + Y$的分布列为

独立性：$P(X=i, Y=j) = P(X= i)P(Y=j)$.

3. 命题一：二项分布之和还是二项分布

定理20：若随机变量$X \sim B(n_1, p)$和$Y \sim B(n_2, p)$独立，则

证明：二项分布$P(X = i) = \binom{n_1}{i}p^i(1-p)^{n-i} \quad (i \in \mathbb{N})$

$$\begin{aligned} P(Z = k) &= \sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\ &= \sum_{i=0}^k \binom{n_1}{i}p^i(1-p)^{n_1 -i} \binom{n_2}{k-i}p^{k-i}(1-p)^{n_2-k+i}\\ &= \left(\sum_{i=0}^k \binom{n_1}{i} \binom{n_2}{k-i}\right) p^k(1-p)^{n_1 + n_2 - k}\\ &= \binom{n_1 + n_2}{k} p^k(1-p)^{n_1 + n_2 - k} \end{aligned}$$

对于$\sum_{i=0}^k \binom{n_1}{i} \binom{n_2}{k-i} = \binom{n_1+n_2}{k}$，可用过证明$(1+x)^{n_1}(1+x)^{n_2} = (1+x)^{n_1+n_2}$中的$x^k$项前系数相同得证。

推论：若相互独立的随机变量$X_i \sim B(m_i, p) \quad (i \in \mathbb{N}^+)$，则

推论：若相互独立的随机变量$X_i \sim B(1, p) \quad (i \in \mathbb{N}^+)$，则

4. 命题二：泊松分布之和还是泊松分布

定理21：若随机变量$X \sim P(\lambda_1)$和$Y \sim P(\lambda_2)$独立，则

泊松分布：$P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \quad (k \in \mathbb{N})$.

$$\begin{aligned} P(Z = k) &= \sum_{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\ &= \sum_{i=0}^k \frac{\lambda_1^i}{i!}e^{-\lambda_1}\frac{\lambda_2^{k-i}}{(k-i)!}e^{-\lambda_2}\\ &= \left[\frac{1}{k!} \sum_{i=1}^k \binom{k}{i} \lambda_1^i \lambda_2^{k-i} \right]e^{-\lambda_1 - \lambda_2}\\ &= \frac{e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{k!}(\lambda_1 + \lambda_2)^k \end{aligned}$$

二、连续型随机向量函数的分布

设二维连续型随机向量$(X, Y)$的联合概率密度为$f(x,y)$，求随机变量$Z = g(X, Y)$的概率密度：

• 先计算分布函数（积分区域）

  $$F_Z(z)=P(Z \leq z) = P(g(x, y) \leq z) = \int\int_{g(x,y) \leq z}f(x,y)dxdy.$$

• 对分布函数$F_Z(z)$求导得到密度函数

  $$f_Z(z) = F_Z'(z)$$

二维连续型随机向量和（和函数$g=X+Y$）的分布

定理22：[求和基本公式]设随机向量$(X, Y)$的联合分布密度为$f(x, y)$，则随机变量$Z = X + Y$的分布函数为

因此，概率密度为

定理 23：[卷积公式-和函数] 若连续随机变量$X$与$Y$相互独立，其概率分布函数分别为$f_X(x)$和$f_Y(y)$，则随机变量$Z = X + Y$的密度函数为

推论：更一般的情况，对于同定义域上的函数$f(x), g(x)$，其卷积为

1. 命题三：正态分布之和是正态分布

定理 24：若随机变量$X \sim \mathcal{N}(\mu_1, \sigma_1^2)$和$Y \sim \mathcal{N}(\mu_2, \sigma_2^2)$相互独立，则

推论 若相互独立的随机变量$X-i \sim \mathcal{N}(\mu_i, \sigma_i^2) \quad (i \in [n])$，则

2. 随机变量的乘/除法分布

定理 25 设随机向量$(X,Y)$的联合密度为$f(x,y)$，则随机变量$Z = XY$的概率密度为

随机变量$Z = Y/X$的概率密度为

3. 命题四：连续随机变量函数的分布

若标准正态分布的随机变量$X$与$Y$相互独立，则随机向量$Z = Y/X$服从柯西分布。

4. 最大值和最小值的分布

定理 26 设$X_1, \dots, X_n$相互独立、分布函数为$F_{X_1}(x_1), \dots, F_{X_n}(x_n)$，则

• 随机变量$Y = \max(X_1, \dots, X_n)$的分布函数为

  $$F_Y(y) = F_{X_1}(y)F_{X_2}(y)\dots F_{X_n}(y)$$

• 随机变量$Z = \min(X_1, \dots, X_n)$的分布函数为

  $$F_Z(z) = 1- [1- F_{X_1}(z)][1-F_{X_2}(z)]\dots[1 - F_{X_n}(z)]$$

  证明：

  • For max,
  • For min,

推论：若相互独立的随机变量$X_1, X_2, \dots, X_n$其分布函数和密度函数分别为$F(x)$和$f(x)$，即

则随机变量$Y = \max(X_1, \dots, X_n)$的分布函数和密度函数分别为

随机变量$Z = \min(X_1, \dots, X_n)$的分布函数和密度函数分别为

5.连续型随机变量复合函数的联合分布函数

定理 27 设$U=u(X,Y)$和$V = v(X, Y)$有连续偏导，反函数$X=x(U,V)$和$Y=y(U,V)$。若$(X,Y)$的联合概率密度为$f(x,y)$，则$(U,V)$的联合密度为

其中$J$为变换的雅可比行列式，即